Định nghĩa, các phép toán trên số phức

Trong đề thi tuyển sinh THPT quốc gia và tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, các bài toán về số phức thường có các dạng toán như: tìm phần thực, phần ảo, tìm môđun của số phức, giải phương trình…

Bài viết này giới thiệu một số dạng toán cơ bản về số phức. 

1. Định nghĩa số phức 

Số phức là số có dạng  $ \displaystyle z=a+bi(a,b\in R)$ , i là đơn vị ảo, tức là $ \displaystyle {{i}^{2}}=-1$

a gọi là phần thực của z, kí hiệu a = Rez

b gọi là phần ảo của z, kí hiệu b = imz

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

2. Các phép toán trên số phức

- Cho $ \displaystyle {{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i,\,\,\,{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i$

thì:

+) $ \displaystyle {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\left( {{{a}_{1}}+{{a}_{2}}} \right)+\left( {{{b}_{1}}+{{b}_{2}}} \right)i$

+) $ \displaystyle {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( {{{a}_{1}}-{{a}_{2}}} \right)+\left( {{{b}_{1}}-{{b}_{2}}} \right)i$

+) $ \displaystyle {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\left( {{{a}_{1}}+{{b}_{1}}i} \right).\left( {{{a}_{2}}+{{b}_{2}}i} \right)={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{a}_{1}}{{b}_{2}}i+{{a}_{2}}{{b}_{1}}i+{{b}_{1}}{{b}_{2}}{{i}^{2}}$$ \displaystyle ={{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}}+({{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{a}_{2}}{{b}_{1}})i$

+) $ \displaystyle \frac{{{{z}_{1}}}}{{{{z}_{2}}}}=\frac{{\left( {{{a}_{1}}+{{b}_{1}}i} \right)}}{{\left( {{{a}_{2}}+{{b}_{2}}i} \right)}}=\frac{{\left( {{{a}_{1}}+{{b}_{1}}i} \right)\left( {{{a}_{2}}-{{b}_{2}}i} \right)}}{{\left( {{{a}_{2}}+{{b}_{2}}i} \right)\left( {{{a}_{2}}-{{b}_{2}}i} \right)}}=\frac{{{{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}}+({{a}_{2}}{{b}_{1}}-{{a}_{1}}{{b}_{2}})i}}{{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

3. Mô đun của số phức, số phức liên hợp

Cho số phức $ \displaystyle z=a+bi$ Khi đó:

- Đại lượng: $ \displaystyle \sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ gọi là môđun của z. 

- Kí hiệu: $ \displaystyle \left| z \right|=\sqrt{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$

- Số phức: $ \displaystyle \overline{z}=a-bi$ gọi là số phức liên hợp của z